ΘΗΚ 2: 1ο μάθημα, 2/10/2014

ΘΗΚ 2: 1^Ο Μάθημα: Εναλλασώμενο ρεύμα (AC)  2/10/2014

Η συχνότητα είναι f=1/t και η μονάδα του είναι το Hz ή sec^-1.

Ο χρόνος είναι t=1/f και η μονάδα του είναι το 1sec.

Περιοδικές κυματομορφές:

Κυκλική συχνότητα (ω) = 2π*f το 2π είναι αδιάστατα μεγέθη, επειδή το rad αποτελεί δείκτη και όχι μονάδα μέτρησης γωνιών είτε rad/sec είτε sec^-1  είτε Hz είναι ένα και το αυτό.

Σειρές Φουριέ: Είναι ο τρόπος να περιγραφή ένα κύμα που μοιάζει να λειτουργεί ως ένα άθροισμα ημιτονοειδών κυμάτων.

Αποτελείται από την «θεμελιώδη κυματομορφή και τις αρμονικές, οι οποίες μπορεί να τίνουν στο άπειρο, αλλά στην παρούσα διάλεξη δεν μπούμε τόσο πολύ σε βάθος.

Σημείωση: Οι συχνότητες στις αρμονικές είναι ακέραια πολλαπλάσια της συχνότητας της θεμελιώδους κυματομορφή, πχ η 1^η αρμονική έχει 2f η 2^η έχει 3f κλπ.

Τριγωνομετρηκές κυματομορφές:

Τύποι:

V(t)=V0*sin(ωt+φ0)

V’(t)= V0*cos(ωt+φ1)

Όπου V(t) είναι η στιγμιαία τιμή

V0 είναι το πλάτος της κυματομορφής ή η μέγιστη τάση σε αυτήν την περίπτωση.

ω είναι η κυκλική συχνότητα, η οποία «ελέγχει» το πόσο αραιά η πυκνά θα είναι τα «σκαμπανευάσματα»

t είναι ο χρόνος

φ0/φ1 είναι η φασική γωνία, δηλαδή εάν έχουμε ιστέριση ή προπορία στο ημίτονο ή στο συνημίτονο, επειδή κατά συνθήκη το V το βάζουμε να μην έχει φασική γωνία απ αρχής του το γράφουμε πχ V(t)=V0*cos(ωt).

Από χρόνο σε γωνία σε rad και αντίστροφα.

Έστω ότι θέλουμε να βρούμε πόσες μοίρες έχει το Τ/4:

Από την απλή μέθοδο των τρειών έχουμε

T   =   360^o   

T/4   =   X     => XT= 360*(T/4)= πολλαπλασιάζοντας με τον συντελεστή του αγνώστου έχουμε Χ=360/4=90^ο

Για να βρούμε πόσα rad είναι οι 90 μοίρες:

(90/360)=(φrad/2π)=90*2π=φrad*360, διαιρόντας με τον συντελεστή του αγνώστου βρίσκουμε ότι φ=(90*2π)/360= ½π ή π/2

Από Ημίτονο σε Συνημίτονο

Έστω ότι έχουμε V(t)=40*sin(200t) και θέλουμε να το πάμε στο συνημίτονο (cos)

Το γράφουμε ως εξής: V(t)=40*cos(200t-90^o) από την παραπάνω μετατροπή εάν θέλουμε την μετατοπίσουμε για να «ταιριάζει» αυτό που γράφουμε με αυτό που βλέπουμε ή θα βλέπουμε εάν μας ζητηθεί να το σχεδιάσουμε.

Μάθημα 1 - Μέθοδος διχοτόμησης - διάλεξη 1/10/2014

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά : Μάθημα 1^ο . 1/10/2014

Μέθοδος Διχοτόμησης:

Έστω (1) f(x)=0

Από το γενικευμένο θεώρημα Bolzano έχουμε ότι:

Εάν f συνεχής στην (1) στο διάστημα <α,β> και υπάρχουν τα όρια:

(i)Limf(x), x->α+ και (ii)Limf(x), x->β-

Έτσι ώστε (i)*(ii)<0 τότε υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της (1) στο (α,β)

Μεθοδολογία:

1)      Παίρνουμε το μέσο M1=(α+β)/2.

2)      Επαληθεύουμε στο f(Μ1).

3)      Εάν f(M1)<0 τότε στο [Μ1, β] υπάρχει ρίζα και Μ2=(Μ1+β)/2 κλπ.

αλλιώς εάν f(M1)>0 τότε η ρίζα υπάρχει στο [α, Μ1] και Μ2=(α+Μ1)/2 κλπ.

4)      Έτσι έχουμε Μ1,Μ2,Μ3....Μν -> Ρ άρα f(Ρ)=0

Ακρίβεια

Το ερώτημα που γεννάτε τώρα είναι το στα πόσα Μν σταματάμε;

Έστω |Μν-Ρ|<ε, όπου ε είναι η ακρίβεια που θέλουμε να έχουμε από την ρίζα.

Τότε |Μ1-Ρ|<(β-α)/2 και |Μ2-Ρ|<((β-α)/2)/2 κλπ, καταλήγουμε στο γενικευμένο (β-α)/2^n

Εάν ((β-α)/2^n)<ε λύνοντας ως προς n έχουμε n> (ln(β-α)-ln(ε))/ln(2)

Η οποία ανήσωση δεν αλλάζει φορά λόγω του ότι η ln είναι γνησίως αύξουσα.

Παρατήρηση:

Υπάρχει σοβαρή πιθανότητα το n να βγει δεκαδικός αριθμός, οπότε παίρνουμε κάνουμε πλήθος βημάτων στον αμέσως επόμενο ακέραιο αριθμό π.χ εάν n>6.5 τότε κάνουμε 7 βήματα.

Παράδειγμα 1.

f(x)=x^5+x-1=0, και ε=1/100

Παρατηρούμε ότι είναι συνεχής ως πολυωνυμική. Και το πεδίο ορισμού είναι το [0,1]

f(0)=-1<0

f(1)=1>0

Ακουλουθώντας τον παραπάνω αλγόριθμο βρίσκουμε το πλήθος των βημάτων:

n>((ln(1-0)-ln(1/100))/ln(2)= 6.64 ~ 7

Βρίσκουμε το M1, M1=(β-α)/2= (1-0)/2 = ½

Επαληθεύουμε στο f(M1)=(1/2)^5+(1/2)-1= -0.46875, άρα Μ1<0 κατά συνέπεια το «α» αντικαθήσταται από το Μ1. Δηλαδή το νέο διάστημα είναι [1/2, 1]

Βρίσκουμε το Μ1, Μ2=(1/2+1)/2=3/4, επαληθεύοντας στο f(M2) έχουμε -0.00126 άρα f(M2)<0 άρα το Μ1 αντικαθήσταται από το Μ2. Δηλαδή το νέο διάστημα είναι [3/4, 1]

Μ3=(Μ2+-β)/2= ((3/4)+1)/2= 7/8, επαληθεύοντας στο f(M3) έχουμε 0.3879 άρα το Μ3 αντικαθηστά το «β» και το νέο διάστημα είναι [3/4, 7/8]

Μ4=(Μ2+Μ3)/2= ((3/4)+(7/8))/2= 13/16, επαληθεύοντας στο f(M4) έχουμε 0,166>0 άρα αντικαθηστά το «β» και το νέο διάστημα είναι [3/4, 13/16]

Βρίσκουμε Μ5= 25/32. Με f(M5)=0.072 άρα το Μ5>0 άρα το νέο διάστημα είναι [3/4 , 25/32]

Βρίσκουμε Μ6= 49/64 και το f(M6)= 0.028 άρα M6>0 άρα το νέο διάστημα είναι [3/4, 49/64]

Και Μ7= 97/128 με f(M7)= 0.0077.

Παράδειγμα 2: Τριγωνομετρικό πολυώνυμο

Cosx=2x μεταφέροντας το 2x στο αριστερό μέλος έχουμε f(x)=cosx-2x=0 και ε=1/100

Με πεδίο ορισμού [0, π/2]

Βρίσκουμε πλήθος βημάτων n>8

Μ1=π/4 με f(M1)= -0.8636 άρα Μ1<0 και το νέο διάστημα γίνεται [0, π/4]

Μ2=π/8 με f(M2)=0.138>0 άρα το νέο διάστημα είναι [π/8, π/4]

Μ3=3π/16 με f(M3)=-0.34<0 άρα το νέο διάστημα είναι [π/8, 3π/16]

Μ4=5π/32 με f(M4)=-0.099<0 άρα το νέο διάστημα είναι [π/8, 5π/32]

M5=9π/64 με f(M5)=0.02>0 άρα το νέο διάστημα είναι [9π/64, 5π/32]

Μ6=19π/128 με f(M6)=-0.039<0 άρα το νέο διάστημα είναι [9π/64 ,19π/128]

M7= 37π/256 με f(M7)=-0.009<0 άρα το νέο διάστημα είναι [37π/256, 19π/128]

Μ8=73π/215 με f(M8)=0.001

Εισαγωγικό σημείωμα

Σε αυτό το ιστολόγιο θα ανεβαίνουν σημειώσεις εφαρμοσμένων μαθηματικών από το ΤΕΙ Κρήτης τμήμα ηλεκτρολογίας. Αποτελούν καθαρογραφή των διαλέξεων του χειμερινού εξαμήνου 2014-2015. Δεν συνιστούν αντικατάσταση των ήδη υπαρχόντων σημειώσεων του καθηγητή ούτε του βιβλίου καθώς υπάρχει το ενδεχόμενο να υπάρχουν παραλείψεις και λάθη κατά την συγγραφή τους.


Απαγορεύεται η αντιγραφή χωρίς παράθεση της τοποθεσίας.